1) Moto in una dimensione, fornisco le posizioni ai tempi 1, 2, 3 secondi. Calcolando l'accelerazione al tempo 2, facendo l'ipotesi che sia sempre la stessa, e usandola per trovare la velocità al tempo 3.5, trovate la posizione al tempo 4:
a) x = 0, 2, 4.
b) x = 4, 2, 0.
c) x = 10, 40, 90.
d) x = 90, 40, 10.
e) x = 1, 2, 5.
2) Ho un moto oscillatorio lungo x, con x che oscilla tra i valor +2 e -2. Le posizioni ai tempi 0, 1, 2, sono x = -2, 0, 2. Se applico la tecnica dell'es.1 la posizione al tempo 3 è x = 4. Questo è assurdo. Dove sta il problema?
3) Moto in due dimensioni, stesso gioco di prima:
a) (x,y) = (10,0), (0.71,0.71), (0,10).
b) (x,y) = (10,0), (0,10), (-10,0)
4) Nell'es.3b io posso applicare la stessa tecnica dell'es.1 (componente per componente) oppure posso usare l'intuito. I risultati sono completamente diversi. Perchè?
5) Ho un asse a 45 gradi. Quanto valgono le proiezioni su questo asse dei vettori
a) (10,0),
b) (0,10),
c) (10,10),
d) (10,5),
e) (5,10)
Nota: gli ultimi due si calcolano usando il prodotto scalare con il versore dell'asse a 45 gradi. Anche gli altri, volendo, ma ci si può arrangiare maniere più spicce.
6) A quali angoli cos(x) ed 1 - x^2 / 2 differiscono del 5 %, del 10 %, del 30 % ?
7) sqrt(1+x) (= radice di 1+x) è approx 1 + x/2. A che x la differenza è del 5, 10, 30 % ?
8) Calcolo la derivata di x^2 (=x quadro) nel punto x=2 usando le differenze finite tra i punti 2-a e 2+a, dove "a" è un numero che scelgo io. Per quali "a" la differenza rispetto al valore corretto 4 è del 5, 10, 30 % ?
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1) x per t=4
RispondiEliminaa) 6 b) -2 c) 160 d) 0 e) 10
2) essendo un moto oscillatorio a t=2 la velocità deve essere nulla quindi ho una accelerazione negativa tra 0 e 2. Dopodichè il vettore velocità cambia verso.
3) a) x per t=4 (7.87,27.87)
b) x per t=4 (-20,-30)
4) se fatto in stile es1 presuppongo un moto rettilineo in cui non cambio direzione. L'intuito mi suggerisce per t=4 (0,-10)
5) a) 10/sqrt(2)
RispondiEliminab) 10/sqrt(2)
c) 20/sqrt(2)
d) 15/sqrt(2)
e) 15/sqrt(2)
Come al solito aspetto ancora un attimo per le risposte precise, nel caso qualcun altro volesse cimentarsi/cementarsi sugli esercizi.
RispondiEliminaPerò una nota sulle domanded 2 e 4: ma quale è la ragione per cui in questi casi l'intuizione (che ci prende) e la stima mediante accelerazione (che non ci prende) non vanno d'accordo? O in altre parole: perchè il sistema dell'estrapolazione a partire dall'accelerazione non va bene? La risposta non è specifica dell'oscillatore armonico.
1) a 6
RispondiEliminab -2
c 160
d -60
e 10
2) il problema sta nel supporre l'accelerazione costante, mentre in un moto oscillatorio essa varia a seconda della posizione di x. (varia da positiva a negativa, per essere uguale a zero in 2 d in -2).
3) a (7.87 , 17.87)
b (-20 , -30)
4) l'intuito porterebbe a (0, -10) perchè manterrebbe il moto cambiando direzione. L'esercizio invece mostra che, al posto del cambio di direzione, l'accelerazione e la velocità incrementano solamente il modulo del vettore.
5) a 10/sqrt(2)
b 10/sqrt(2)
c 10sqrt(2)
d 3/sqrt(5)
e 3/sqrt(5)
6) 5%--> 53° 10%-->60° 30%--> 71°
RispondiElimina7) 5%--> 1 10%-->1.6 30%--> 5
riassumendo sugli esercizi 2 e 4: Con tre punti posso calcolare l'accelerazione, ma non capire se sta cambiando. Siccome per calcolare il quarto punto assumo che non stia cambiando, rischio. Se nell'intervallo considerato cambia poco l'errore è piccolo, se cambia tanto sono fregato (qui arriva a cambiare segno).
RispondiEliminaesercizi 1 e 3: mi sembrano corretti tutti tranne l'1d di cd94. La risposta lì è 0, vorrei capire come è venuto fuori il -60, è un risultato un po' strano.
RispondiEliminaerrore di battitura... come si risolvono gli esercizi 6, 7, e 8?
RispondiEliminaio ho impostato un foglio di calcolo ed ho calcolato i valori, poi non so se corretto...
RispondiEliminaIntanto il 5: mi sembra corretto nella versione mv81. I primi tre di cd94 sono uguali, gli ultimi due non riesco ad ottenerli.
RispondiEliminaPer il 6 e il 7, si tratta di fare due conti con una macchinetta, e con la formula approssimata. Il foglio di calcolo può essere una buona idea, ma anche senza. dopo qualche tentativo uno capisce da solo il sistema per accelerare la convergenza verso l'angolo giusto, facendo "forcella" (ne cerchi uno più su, poi uno più giù, e vai a stringere).
L'ultimo si fa proprio in questo modo: calcolo la derivata come rapporto incrementale finito usando un dx = a/2 variabile. Confronto i risultati con il risultato che conosco già dall'analisi: per a -> 0 dovrei riavere quello. Fermandomi ad "a" piccolo ma nonzero, avrò il risultato giusto "mancato" del 5 % o quello che serve.
8) 5%--> 0.2 10%--> 0.44 30%--> 1.2
RispondiEliminaattenzione all'8: Questo si può calcolare in parte a mano: uno scrive il rapporto incrementale:
RispondiEliminanumeratore: (2+a)^2 - (2-a)^2
denominatore: 2a
calcola il rapporto e questo DEVE essere una funzione di a che è = 4 se a = 0. Quindi quando questa funzione è 0.1 abbiamo ottenuto l'errore del 10 %, eccetera. Che cosa viene fuori?
Non riesco a capire come mv81 ottenga quel tipo di risultati nelle domande 6 e 7 e non so quali siano di conseguenza le risposte corrette. Invece, come si potrebbe risolvere l'8? più che altro non riesco a capire la richiesta...Grazie
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