1) Quanto vale il lavoro compiuto girando intorno ad un quadrato di lato 2 dai campi di forze seguenti?
(a) (0,10)
(b) (x,0)
(c) (0,x)
(d) (0,2x)
I risultati non dipendono da DOVE metto il quadrato. Perchè?
E se i quadrati hanno lato 4, come cambiano i risultati?
2) Immaginando un esercizio come il precedente, per quali dei seguenti il lavoro dipende da dove metto il quadrato?
(a) (x,y)
(b) (y,x)
(c) (y^2,x^2)
(d) (xy,xy)
3) Nel precedente, per quali il lavoro è zero?
4) Un punto di massa 2 kg si muove nel campo di forze associato all'energia potenziale: U(x) = 2*sin(x).
(a) Partendo da 0, che velocità gli serve per non tornare mai indietro?
(b) dove sono i punti di equilibrio stabile e instabile più vicini all'origine?
(c) se parte fermo da x=0, dove si ferma?
5) (più difficile) U(x,y) = x^2 - y^2 (x quadro meno y quadro). Quale è la struttura del campo di forze?
venerdì 26 marzo 2010
giovedì 25 marzo 2010
sesta settimana
ultima settimana prima dell'interruzione. Otto ore complete, dedicate alle forze conservative (teoremi principali). Circa 30 presenti lunedi e martedi (come al solito con gente che va e viene), 21 fissi giovedi.
giovedì 18 marzo 2010
nuova settimana (perso il conto)
otto ore regolari, su lavoro, energia cinetica ed integrali di linea. Ogni tanto si cominciano a vedere meno di 30 presenti.
esercizi - lavoro/energia 1
Facili (o comunque dirette):
1) Una forza F agisce per 3 metri e accelera un punto da zero a V. Se invece agisce per 48 metri, che velocità trovo?
2) Con lavoro 10 vado da 0 a 3 m/s. Per abdare da 0 a 6 m/s quanto lavoro mi serve?
3) Una forza ha le componenti (10,10), ed un'altra (10,-10). Agiscono assieme su un punto di massa 1 kg, inizialmente fermo nell'origine e non sogggetto ad alcun vincolo. Quando ha percorso 10 m, che lavoro totale è stato compiuto su di lui?
4) Un oscillatore massa-molla ha F = -3x, massa 1 kg, e oscilla con ampiezza 10 m. Quanto lavoro viene compiuto da questa forza in: (i) 1/4 di periodo, (ii) mezzo periodo da -10 a + 10, (iii) mezzo periodo da 0 a 0, (iv) un periodo?
5) Un oggetto è in caduta libera (parte da fermo). La gravità in 1 secondo compie lavoro L su di lui. In due secondi che lavoro compie?
6) Nel problema di prima la gravità compie un certo lavoro A in 1 secondo, e un certo lavoro B in 1 metro. A, B, nessuno dei due, o tutti e due, dipendono o no (i) dalla quota con cui inizia la caduta, (ii) dalla velocità con cui inizia la caduta? (spiega)
Meno banali:
7) Una barca a vela col vento in poppa percorre 10 km, ed il vento risulta aver compiuto lavoro 100. Se la stesssa distanza viene compiuta col vento al traverso (stessa velocità del vento e stessa velatura), il lavoro compiuto dal vento in 10 km quanto è?
8) Un pendolo ha lunghezza 2 m e massa 1 kg. Per aprire l'angolo di 30 gradi, che lavoro si compie?
9) Sempre lo stesso pendolo. Lo lascio partire (da fermo) da un angolo piccolo x. Sia v la velocità con cui arriva alla verticale. Come dipende v da x?
1) Una forza F agisce per 3 metri e accelera un punto da zero a V. Se invece agisce per 48 metri, che velocità trovo?
2) Con lavoro 10 vado da 0 a 3 m/s. Per abdare da 0 a 6 m/s quanto lavoro mi serve?
3) Una forza ha le componenti (10,10), ed un'altra (10,-10). Agiscono assieme su un punto di massa 1 kg, inizialmente fermo nell'origine e non sogggetto ad alcun vincolo. Quando ha percorso 10 m, che lavoro totale è stato compiuto su di lui?
4) Un oscillatore massa-molla ha F = -3x, massa 1 kg, e oscilla con ampiezza 10 m. Quanto lavoro viene compiuto da questa forza in: (i) 1/4 di periodo, (ii) mezzo periodo da -10 a + 10, (iii) mezzo periodo da 0 a 0, (iv) un periodo?
5) Un oggetto è in caduta libera (parte da fermo). La gravità in 1 secondo compie lavoro L su di lui. In due secondi che lavoro compie?
6) Nel problema di prima la gravità compie un certo lavoro A in 1 secondo, e un certo lavoro B in 1 metro. A, B, nessuno dei due, o tutti e due, dipendono o no (i) dalla quota con cui inizia la caduta, (ii) dalla velocità con cui inizia la caduta? (spiega)
Meno banali:
7) Una barca a vela col vento in poppa percorre 10 km, ed il vento risulta aver compiuto lavoro 100. Se la stesssa distanza viene compiuta col vento al traverso (stessa velocità del vento e stessa velatura), il lavoro compiuto dal vento in 10 km quanto è?
8) Un pendolo ha lunghezza 2 m e massa 1 kg. Per aprire l'angolo di 30 gradi, che lavoro si compie?
9) Sempre lo stesso pendolo. Lo lascio partire (da fermo) da un angolo piccolo x. Sia v la velocità con cui arriva alla verticale. Come dipende v da x?
venerdì 12 marzo 2010
quarta settimana
Lezioni martedi e giovedi (saltato lunedi causa lauree). Molto spazio dedicato a discutere le funzioni sinusoidali ed esponenziali, le equazioni differenziali da esse seguite ed alcuni problemi fisici dei quali sono soluzioni. Di solito 40 presenti con oscillazione tra i 35 e i 50.
esercizi 3
1) Ho le coppie xy che formano una curva: x=0, y=0; x=1, y=0; x=2, y=1; x=3, y=2; x=4, y=4;
Quanto vale la derivata seconda di y nei punti x = 1, 2, 3 ?
2) Un punto si muove lungo una traiettoria ellittica a velocità costante (in modulo). In che punti la sua accelerazione è massima e minima?
3) Un punto si muove lungo una spirale, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
4) Un punto si muove lungo un'elica di passo costante, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
5) Oscillatore lineare tipo massa+molla. Quando è massima (in modulo) l'accelerazione, e quando la velocità?
6) Nel caso del pendolo oscillante, come si comporta l'accelerazione (i) tangenziale, (ii) centripeta ? (nota: centripeta e tangenziale sono lo componenti lungo la traiettoria e ortogonale alla traiettoria).
7) La stessa domanda nel caso di un pendolo lanciato con tale forza da girare in cerchio sempre nello stesso verso, anzichè oscillare.
8) Gli spazi percorsi da un punto lungo una retta seguono una legge esponenziale, s = 3 exp(2t). Che fa l'accelerazione?
9) Per rappresentare la legge y = exp(2x) in carta 1-log, quale delle due mi conviene mettere sull'asse log, x o y ? E per la legge y = log(2x)?
10) Se rappresento la legge y = 10 + exp(2t) su carta 1-log, che curva mi aspetto di vedere? (t va da meno a più infinito)
Quanto vale la derivata seconda di y nei punti x = 1, 2, 3 ?
2) Un punto si muove lungo una traiettoria ellittica a velocità costante (in modulo). In che punti la sua accelerazione è massima e minima?
3) Un punto si muove lungo una spirale, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
4) Un punto si muove lungo un'elica di passo costante, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
5) Oscillatore lineare tipo massa+molla. Quando è massima (in modulo) l'accelerazione, e quando la velocità?
6) Nel caso del pendolo oscillante, come si comporta l'accelerazione (i) tangenziale, (ii) centripeta ? (nota: centripeta e tangenziale sono lo componenti lungo la traiettoria e ortogonale alla traiettoria).
7) La stessa domanda nel caso di un pendolo lanciato con tale forza da girare in cerchio sempre nello stesso verso, anzichè oscillare.
8) Gli spazi percorsi da un punto lungo una retta seguono una legge esponenziale, s = 3 exp(2t). Che fa l'accelerazione?
9) Per rappresentare la legge y = exp(2x) in carta 1-log, quale delle due mi conviene mettere sull'asse log, x o y ? E per la legge y = log(2x)?
10) Se rappresento la legge y = 10 + exp(2t) su carta 1-log, che curva mi aspetto di vedere? (t va da meno a più infinito)
venerdì 5 marzo 2010
terza settimana
altre tre lezioni ad orario pieno, essenzialmente esercitazioni su geometria, cinematica, e (ieri) forze e moti corrispondenti elementari: moto rettilineo (inerzia), quadratico (forze costanti ed uniformi), sinusoidale (molla), esponenziale (dissipativa debole). Sempre 40 presenti all'ultima ora di giovedi, tra i 50 e 60 nelle altre.
lunedì 1 marzo 2010
Altri esercizi / domande
Seguono domande facili e non. Diciamo che il 60 percento delle domande seguenti richiede pazienza a far disegni e ragionamenti, ma niente di più.
1) Indico con a^b il numero a elevato alla potenza b, e con a*b il prodotto tra a e b. Se x^2 + y^2 = 1 è l'equazione del cerchio di raggio 1 e centro nell'origine, che cosa descrivono le equazioni seguenti:
a) (x-3)^2 + y^2 = 1;
b) x^2 + (y-2)^2 = 1
c) x^2 + y^2 = 4
d) 4*x^2 + y^2 = 1
2) Ragioniamo in termini di angolo polare (latitudine) ed azimutale (longitudine).
Assumiamo che brescia si trovi ad angolo polare 45 gradi (lo zero è al polo nord) ed azimut esattamente zero (valori crescenti in direzione est). A che coppia di angoli posiziono (molto approssimativamente):
a) il polo nord
b) il polo sud
c) la nuova zelanda
d) dakar
e) una città agli antipodi di dakar
e) la corea
f) un posto alla latitudine di BS, dove sono le sei di sera quando a BS è midnight.
3) Devo andare in aereo da BS a Mosca. Quale delle due è più breve: (a) muoversi prima lungo un meridiano e poi lungo un parallelo, (b) il contrario. Stessa domanda, per il caso in cui debba andare da BS al Cairo.
4) per determinare la distanza di un oggetto C eseguo una triangolazione a partire da due punti A e B a 100 metri uno dall'altro. Immagino che il triangolo sia isoscele. Se l'angolo al vertice lontano è 30 gradi, a che distanza si trova C (a) da A, (b) dal punto intermedio tra A e B.
5) Triangolazione sul genere dell'esercizio (4), con A e B a 100 metri uno dall'altro e C a 1000 metri dal punto intermedio AB. Se il mio strumento ha una precisione di 1 grado, che errore commetto nella misura di quei 1000 metri?
6) Io mi trovo nell'origine. Un oggetto puntiforme A si muove. Come varia nel tempo la sua velocità angolare vista da me? disegna un grafico qualitativo nei seguennti casi:
a) A si muove lungo una retta che passa per l'origine, con velocità costante.
b) Come in (a), ma stavolta la retta non passa per l'origine.
c) A si muove con velocità costante lungo un cerchio che ha centro l'origine.
d) Come in (c), ma adesso l'origine si trova in un punto esterno al cerchio, lontano da esso.
e) Come in (c), ma ora l'origine si trova all'interno del cerchio, ma non esattamente nel centro.
7) Due mongolfiere A e B si trovano a 100 metri una dall'altra alla stessa quota, ad una grande altezza. Mi trovo in A e vedo un oggetto C lasciato cadere da B. C è fermo al tempo zero quando inizia la caduta.
a) Disegna l'andamento (qualitativo) della velocità di C e della sua velocità angolare vista da me.
b) Più difficile: identifica con precisione l'istante in cui la velocità angolare è massima.
8) Mongolfiere come sopra, ma stavolta C viene lanciato verso l'alto, quasi verticalmente, con velocità iniziale 10 m/s. Stesse domande.
9) Stavolta l'oggetto C viene lanciato da A (dove mi trovo io) con angolo iniziale 30 gradi e velocità 10 m/s. Stesse domande.
10) Un piccolo oggetto pesante A si muove lungo una traiettoria circolare per il fatto di essere legato ad una corda, che ha l'altro estremo fissato ad un punto. La corda si rompe. Quale è la traiettoria di A, mettendo assieme i tratti prima e dopo la rottura? Tra la velocità di A un attimo prima ed un attimo dopo la rottura, che angolo c'è?
1) Indico con a^b il numero a elevato alla potenza b, e con a*b il prodotto tra a e b. Se x^2 + y^2 = 1 è l'equazione del cerchio di raggio 1 e centro nell'origine, che cosa descrivono le equazioni seguenti:
a) (x-3)^2 + y^2 = 1;
b) x^2 + (y-2)^2 = 1
c) x^2 + y^2 = 4
d) 4*x^2 + y^2 = 1
2) Ragioniamo in termini di angolo polare (latitudine) ed azimutale (longitudine).
Assumiamo che brescia si trovi ad angolo polare 45 gradi (lo zero è al polo nord) ed azimut esattamente zero (valori crescenti in direzione est). A che coppia di angoli posiziono (molto approssimativamente):
a) il polo nord
b) il polo sud
c) la nuova zelanda
d) dakar
e) una città agli antipodi di dakar
e) la corea
f) un posto alla latitudine di BS, dove sono le sei di sera quando a BS è midnight.
3) Devo andare in aereo da BS a Mosca. Quale delle due è più breve: (a) muoversi prima lungo un meridiano e poi lungo un parallelo, (b) il contrario. Stessa domanda, per il caso in cui debba andare da BS al Cairo.
4) per determinare la distanza di un oggetto C eseguo una triangolazione a partire da due punti A e B a 100 metri uno dall'altro. Immagino che il triangolo sia isoscele. Se l'angolo al vertice lontano è 30 gradi, a che distanza si trova C (a) da A, (b) dal punto intermedio tra A e B.
5) Triangolazione sul genere dell'esercizio (4), con A e B a 100 metri uno dall'altro e C a 1000 metri dal punto intermedio AB. Se il mio strumento ha una precisione di 1 grado, che errore commetto nella misura di quei 1000 metri?
6) Io mi trovo nell'origine. Un oggetto puntiforme A si muove. Come varia nel tempo la sua velocità angolare vista da me? disegna un grafico qualitativo nei seguennti casi:
a) A si muove lungo una retta che passa per l'origine, con velocità costante.
b) Come in (a), ma stavolta la retta non passa per l'origine.
c) A si muove con velocità costante lungo un cerchio che ha centro l'origine.
d) Come in (c), ma adesso l'origine si trova in un punto esterno al cerchio, lontano da esso.
e) Come in (c), ma ora l'origine si trova all'interno del cerchio, ma non esattamente nel centro.
7) Due mongolfiere A e B si trovano a 100 metri una dall'altra alla stessa quota, ad una grande altezza. Mi trovo in A e vedo un oggetto C lasciato cadere da B. C è fermo al tempo zero quando inizia la caduta.
a) Disegna l'andamento (qualitativo) della velocità di C e della sua velocità angolare vista da me.
b) Più difficile: identifica con precisione l'istante in cui la velocità angolare è massima.
8) Mongolfiere come sopra, ma stavolta C viene lanciato verso l'alto, quasi verticalmente, con velocità iniziale 10 m/s. Stesse domande.
9) Stavolta l'oggetto C viene lanciato da A (dove mi trovo io) con angolo iniziale 30 gradi e velocità 10 m/s. Stesse domande.
10) Un piccolo oggetto pesante A si muove lungo una traiettoria circolare per il fatto di essere legato ad una corda, che ha l'altro estremo fissato ad un punto. La corda si rompe. Quale è la traiettoria di A, mettendo assieme i tratti prima e dopo la rottura? Tra la velocità di A un attimo prima ed un attimo dopo la rottura, che angolo c'è?
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