1) Punto massa 1 kg che si muove lungo l'asse x, sotto una forza di richiamo F = - 4 x.
Le oscillazioni conseguenti hanno ampiezza max 2 m.
Quanto è il periodo? la frequenza? L'accelerazione massima? la velocità massima?
2) lo stesso per F = - 8 x.
3) lo stesso per F = - 8 x ed m = 2 kg.
4) In un moto oscillante, passo periodicamente per l'origine con velocità 3 m/s. Il periodo è 1 s. Quanto vale
l'accelerazione media (a) in una oscillazione completa, (b) in mezza oscillazione con x sempre positiva,
(c) in un quarto di oscillazione con x positiva e crescente.
5) Approssimo exp(-3t) con 1-3t. (a) Fino a che tempi l'errore è entro il 10 % ? (b) Che legame c'è tra il tempo tau "di vita media" dell'esponenziale e la geometria dell'approssimazione lineare? (c) Quanto vale tau? (d) Se approssimo 1/100 con exp(-4), di quanto sbaglio?
6) (difficile) Se la velocità si attenua in modo esponenziale (quindi il punto rallenta ma non si ferma mai), lo spazio percorso è finito o infinito?
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Sicuramente è sbagliato, è possibile che nel primo esca un periodo di pigreco?
RispondiEliminaSabrina
anche a me viene pigreco..
RispondiEliminaprima di dire se è sì o no: perchè "sicuramente è sbagliato"?
RispondiEliminaPerchè ho poca fiducia in me stessa profe. Ma se viene così alla Marta allora è giusto per forza!
RispondiEliminaSabrina
Il periodo del primo esercizio è 3.1415...s (pigreca) risultante dalla formula del moto oscillatorio semplice: PERIODO=2*pigreca*radice quadrata(massa/costante) costante nel primo es =4
RispondiEliminae quella formula da dove viene fuori?
RispondiEliminaehm allora... se F=-kx e la massa è di 1Kg a=-kx che è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo. posto x(t)=a*cos(ct) facendo la derivata seconda di x(t) viene fuori l'acc. -c^2*a*cos(ct) che, moltiplicata per la massa, deve essere uguale alla forza -kx quindi -kx=-c^2*x*m da cui c=radice quadrata(k/m)
RispondiEliminaOra il coseno ha periodo di 2*pigreca e l'argomento del "nostro" coseno è radice quadrata(k/m)*t che posto uguale a 2*pigreca da t=2*pigreca*radice quadrata(massa/costante).
il discorso è abbastanza confuso ma dovrebbe essere giusto, almeno spero...=)
A me viene 4*pigreco!!
RispondiEliminaAnche a me stesso procedimento (e risultato) di carolina!
RispondiEliminaok, il risultato corretto è pi, e la procedura indicata da carolina è corretta e mi sembra anche molto precisa nella descrizione.
RispondiElimina.
RispondiEliminaes 1: v(t)=-4sen(2t); a(t)=-8cos(2t); T=pigreco; f=1/pigreco
RispondiEliminaes 2: v(t)=-4*radice di 2*sen(2t*radice di2); a(t)=-16cos(2t*radice di2); T=pigreco/radice di 2; f=radice di 2/pigreco
es 3: v(t)=-4sen(2t); a(t)= -8cos(2t); T=2pigreco/radice di 2; f=radice di 2/2pigreco;
es 4: a) a(t)=0
b) a(t)=-12m/s^2
c) a(t)=-12m/s^2
Come al solito aspetto un attimo prima di commentare, solo due osservazioni: (i) nei primi chiedevo velocità ed acccelerazione max, (ii) occhio ai rapporti tra primo e terzo esercizio.
RispondiEliminaPrimo e secondo mi escono come la Marta, per calcolare velocità e accelerazione massima ho guardato il grafico e ho sostituito nelle formule della velocità il tempo in cui il grafico era massimo, quindi mi esce nell'es1 v(t)= 4 m/s a(t)=8m/s^2. Nell'es2 v(t)=4*radice quadra di 2m/s e a(t)=16 m/s^2. Il terzo non l'ho fatto, il quarto idem a Marta, il quinto buio totale!
RispondiEliminaNell'es 3 T=pigreca s e f= 1/pigreca Hz il resto mi esce uguale
RispondiEliminaIl terzo ha delle parentele col primo, e sfruttandole ci si risparmia un po' di conti.
RispondiEliminaIl quinto in realtà è una serie di domande sganciate una dall'altra. Per la prima e l'ultima il sistema più semplice è prendere una calcolatrice e fare un po' di prove.
Tau (domanda c) è calcolabile sulla base delle definizioni che ho dato a lezione.
Per la (b) occorre fare un disegno dell'esponenziale, e della retta che riproduce l'approssimazione lineare 1-3t, e infine della posizione di tau sull'asse x. A questo punto bisogna cercare di dimostrare con i numeri quello che si intuisce ad occhio.
Due parole sull'es.6: conosco v(t), quindi posso calcolare x(t) integrando v(t). Devo dimostrare che, per t -> infinito, x(t)-> numero non infinito. Posso assumere x(0) = 0;
es. 1 e 2: corrette le soluzioni di marta, e le vmax, amax di sabrina. Corretto anche l'es. 4.
RispondiEliminaPer il 3: Marta correttamente dà la stessa soluzione dell'es.1, però mi dà periodo e frequenza diverse, il che chiaramente non è possibile: la funzione -4sen(2t) e la funzione -4sen(2t) è molto probabile che abbiano lo stesso periodo.
Confusione tra le risposte precedenti?
Attenzione, perchè agli scritti un numero sorprendente di persone marca una risposta e poi nella tabella conclusiva ne riporta un'altra.
una osservazione: con la funzione 4*sin(2t) non è necessario eseguire un grafico per determinarne il massimo, perchè la funzione sin(...) oscilla sempre tra gli estremi -1 ed 1. Naturalmente i grafici non fanno mai male, ed anzi aiutano a prevenire errori.
Es5: fino al tempo 0,2 l'errore è entro il 10%
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