La domanda è: ma è vero che se un corpo avanza in aria la resistenza è della forma F = - beta V ? E' vero e non è vero. A questo punto ci sono i mezzi per indagare, almeno in uno schema semplificato e 1-dimensionale.
Immagino che un corpo di massa M e velocità V si muova in un gas a temperatura zero. Prima studio il singolo urto di M, in una dimensione, contro una molecola ferma di massa m, e poi considero una sequenza di molti urti. Ipotesi essenziali: m <<> 0, e |V-V'| << V. La molecola può avere v' grande, ma mv' << MV'. L'urto è elastico. In un urto M perde pochissima q e pochissima E (trasferite alla molecola).
Passo 1) Caso bassa temperatura. Assumo che la molecola sia ferma prima dell'urto: MV'+ mv' = MV. Con questa e con la conservazione dell'energia cinetica dimostra che V' = V(1-m/M)/(1+m/M). Nota: con la formula A^2-B^2 = (A+B)(A-B) si arriva a questo risultato senza bisogno di risolvere una equazione di secondo grado.
Passo 2) Ripeti il conto precedente usando l'appprossimazione V+V' \approx 2V: in pochi passaggi si arriva alla relazione (V-V')/V = 2 m/M. Nota: ci si può arrivare anche approssimando il risultato finale di (1), ma è utile provare ad arrivarci direttamente.
Passo 3) Ora arriva il difficile: usando la (2) e sapendo che il numero di urti al centimetro (Attenzione: al centrimetro, non al secondo) è costante, dimostra che l'accelerazione è proporzionale al quadrato di V. E così, uno ottiene la legge di decelerazione idraulica F = -beta V^2, NON la legge F = -beta V.
Se e quando un po' di gente risuona su 'sta roba, discuto il caso realistico in cui le molecole si muovono con velocità >> V (temperature ordinarie). AB
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a me risulta V'=V* (M/m -1)/(M/m + 1) con il segno meno invertito e il rapporto M/m invertito pure.
RispondiEliminais it possible? il terzo esce che a=V'*V*exp(-costante*V'*dt).
RispondiEliminaQuindi se si considera che V' è circa uguale a V allora a è proporzionale al quadrato di V.
Questo mi è uscito dal fatto che ho posto dV/V = -cost*ds con ds=differenziale dello spazio che poi ho sostituito con ds=V*dt.
Ma credo che sia sbagliata come soluzione perchè per V grandi l'esponenziale tende a 0 ...
(1) è la stessa cosa scritta in modo diverso (basta moltiplicare num e den per m/M). Per il (3) OK su dV/V = -cVdt, che si può scrivere dV/dt = - cV^2 e a questo punto siamo arrivati, dato che dV/dt = F/M, senza bisogno di mettere in mezzo gli esponenziali. AB
RispondiEliminaSe a questo punto vuoi veramente sudare, il passo successivo è assumere che invece di una molecola ferma, ce ne sia una che arriva una da destra/sinistra, con velocità v >> V. Se chiamo b il rapporto tra le masse m/M, le conservazioni mi danno (approx) V-V' = -2bV +/- 2bv (uno dei due urti toglie energia, l'altro conferisce energia ad M).
RispondiEliminaIl numero di urti da destra e da sinistra non è identico (visto che M viaggia verso destra). Sommando su urti da sinistra e da destra viene una relazione del tipo dV/V = -cV. Questo però è più difficile. AB
correggo: V'-V = -2bV +/- 2bv
RispondiEliminanon capisco la penultima frase...come si fa a sommare urti da dx e da sx?
RispondiEliminami esce:V-V'=(V+V'-2v)*b
RispondiEliminase considero poi V+V'=2V allora mi esce...(considerando una molecola che si muove verso dx)
cioè arriva da sx
RispondiEliminanon sommo, ma li devo calcolare entrambi. Poi sommerò un certo numero di urti da sx ed un certo numero di urti da dx (non identici). La differenza tra le frequenze urti si può calcolare nel riferimento in cui il proiettile è fermo. Lì le molecole che arrivano da dx e sx hanno velocità diverse, e quindi frequenze d'urto diverse.
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