Un anonimo (mi pare) mi ha chiesto spiegazioni sulla questione "frequenze normali". E' un argomento importante e con molte connessioni ad argomenti di matematica gestionale (i problemi di ottimizzazione a molte variabili), ma non indispensabile ai fini esame.
Al link frequenze normali ho inserito una spiegazione qualitativa provvisoria sulla questione. Mi riprometto di aggiungere una simulazione di un esempio concreto, e se possibile migliorare la spiegazione col tempo. Le domande degli interessati possono sicuramente essere di aiuto. AB
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cioè: io posso scomporre un'oscillazione apparentemente complessa in n oscillazioni (con n= numero di gradi di libertà) completamente slegate l'una dall'altra?
RispondiEliminaquesto si può fare con qualsiasi sistema oscillante?
per legarlo all'esercizio che stavamo facendo quando ha introdotto le frequenze normali:il moto dei due pendoli legati da una molla si può scomporre in due:il moto del baricentro come se fosse un pendolo e le oscillazioni dei due pesi attorno al baricentro.
Sarebbero queste due le frequenze normali?
E' così per entrambe le domande. La dimostrazione rigorosa di quello che ho scritto passa per la teoria di Tayloe in n dimensioni e per la teoria algebrica delle forme quadratiche.
RispondiEliminaEs. Q(x,y,z) = x^2 + 3 xy + 5 xz + yz + y^2 + 2 z^2 è una forma quadratica.
Taylor mi dice che una qualsiasi funzione regolare di tante variabili si può scrivere come somma di una costante, di termini del primo ordine, poi una forma quadratica e poi di termini di ordine più alto.
Se l'energia potenziale di un sistema ha un minimo, un teorema dovuto a Ljapunov dice che ho un punto di equilibrio stabile. E quindi un potenziale centro di oscillazione. Taylor mi dice che attorno ad un minimo mancheranno i termini del primo ordine, quindi mi restano solo la costante e la forma quadratica, se mi fermo al secondo ordine. A questo punto un teorema algebrico dice che una forma quadratica si può sempre riscrivere (dopo aver cambiato le coordinate con una trasformazione lineare: X = ax+by+cz, Y = etc) nella forma aX^2 + bY^2 + cZ^2 +..., ossia come somma di parabole indipendenti.
Morale: scegliendo le coordinate in modo appropriato si può sempre approssimare l'energia potenziale di un sistema, vicino ad un minimo, come A + BX^2 + CY^2 + ..., ossia come somma di tanti oscillatori armonici indipendenti. AB