Facili (o comunque dirette):
1) Una forza F agisce per 3 metri e accelera un punto da zero a V. Se invece agisce per 48 metri, che velocità trovo?
2) Con lavoro 10 vado da 0 a 3 m/s. Per abdare da 0 a 6 m/s quanto lavoro mi serve?
3) Una forza ha le componenti (10,10), ed un'altra (10,-10). Agiscono assieme su un punto di massa 1 kg, inizialmente fermo nell'origine e non sogggetto ad alcun vincolo. Quando ha percorso 10 m, che lavoro totale è stato compiuto su di lui?
4) Un oscillatore massa-molla ha F = -3x, massa 1 kg, e oscilla con ampiezza 10 m. Quanto lavoro viene compiuto da questa forza in: (i) 1/4 di periodo, (ii) mezzo periodo da -10 a + 10, (iii) mezzo periodo da 0 a 0, (iv) un periodo?
5) Un oggetto è in caduta libera (parte da fermo). La gravità in 1 secondo compie lavoro L su di lui. In due secondi che lavoro compie?
6) Nel problema di prima la gravità compie un certo lavoro A in 1 secondo, e un certo lavoro B in 1 metro. A, B, nessuno dei due, o tutti e due, dipendono o no (i) dalla quota con cui inizia la caduta, (ii) dalla velocità con cui inizia la caduta? (spiega)
Meno banali:
7) Una barca a vela col vento in poppa percorre 10 km, ed il vento risulta aver compiuto lavoro 100. Se la stesssa distanza viene compiuta col vento al traverso (stessa velocità del vento e stessa velatura), il lavoro compiuto dal vento in 10 km quanto è?
8) Un pendolo ha lunghezza 2 m e massa 1 kg. Per aprire l'angolo di 30 gradi, che lavoro si compie?
9) Sempre lo stesso pendolo. Lo lascio partire (da fermo) da un angolo piccolo x. Sia v la velocità con cui arriva alla verticale. Come dipende v da x?
giovedì 18 marzo 2010
venerdì 12 marzo 2010
quarta settimana
Lezioni martedi e giovedi (saltato lunedi causa lauree). Molto spazio dedicato a discutere le funzioni sinusoidali ed esponenziali, le equazioni differenziali da esse seguite ed alcuni problemi fisici dei quali sono soluzioni. Di solito 40 presenti con oscillazione tra i 35 e i 50.
esercizi 3
1) Ho le coppie xy che formano una curva: x=0, y=0; x=1, y=0; x=2, y=1; x=3, y=2; x=4, y=4;
Quanto vale la derivata seconda di y nei punti x = 1, 2, 3 ?
2) Un punto si muove lungo una traiettoria ellittica a velocità costante (in modulo). In che punti la sua accelerazione è massima e minima?
3) Un punto si muove lungo una spirale, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
4) Un punto si muove lungo un'elica di passo costante, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
5) Oscillatore lineare tipo massa+molla. Quando è massima (in modulo) l'accelerazione, e quando la velocità?
6) Nel caso del pendolo oscillante, come si comporta l'accelerazione (i) tangenziale, (ii) centripeta ? (nota: centripeta e tangenziale sono lo componenti lungo la traiettoria e ortogonale alla traiettoria).
7) La stessa domanda nel caso di un pendolo lanciato con tale forza da girare in cerchio sempre nello stesso verso, anzichè oscillare.
8) Gli spazi percorsi da un punto lungo una retta seguono una legge esponenziale, s = 3 exp(2t). Che fa l'accelerazione?
9) Per rappresentare la legge y = exp(2x) in carta 1-log, quale delle due mi conviene mettere sull'asse log, x o y ? E per la legge y = log(2x)?
10) Se rappresento la legge y = 10 + exp(2t) su carta 1-log, che curva mi aspetto di vedere? (t va da meno a più infinito)
Quanto vale la derivata seconda di y nei punti x = 1, 2, 3 ?
2) Un punto si muove lungo una traiettoria ellittica a velocità costante (in modulo). In che punti la sua accelerazione è massima e minima?
3) Un punto si muove lungo una spirale, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
4) Un punto si muove lungo un'elica di passo costante, a velocità costante (in modulo). Che fa la sua accelerazione?
5) Oscillatore lineare tipo massa+molla. Quando è massima (in modulo) l'accelerazione, e quando la velocità?
6) Nel caso del pendolo oscillante, come si comporta l'accelerazione (i) tangenziale, (ii) centripeta ? (nota: centripeta e tangenziale sono lo componenti lungo la traiettoria e ortogonale alla traiettoria).
7) La stessa domanda nel caso di un pendolo lanciato con tale forza da girare in cerchio sempre nello stesso verso, anzichè oscillare.
8) Gli spazi percorsi da un punto lungo una retta seguono una legge esponenziale, s = 3 exp(2t). Che fa l'accelerazione?
9) Per rappresentare la legge y = exp(2x) in carta 1-log, quale delle due mi conviene mettere sull'asse log, x o y ? E per la legge y = log(2x)?
10) Se rappresento la legge y = 10 + exp(2t) su carta 1-log, che curva mi aspetto di vedere? (t va da meno a più infinito)
venerdì 5 marzo 2010
terza settimana
altre tre lezioni ad orario pieno, essenzialmente esercitazioni su geometria, cinematica, e (ieri) forze e moti corrispondenti elementari: moto rettilineo (inerzia), quadratico (forze costanti ed uniformi), sinusoidale (molla), esponenziale (dissipativa debole). Sempre 40 presenti all'ultima ora di giovedi, tra i 50 e 60 nelle altre.
lunedì 1 marzo 2010
Altri esercizi / domande
Seguono domande facili e non. Diciamo che il 60 percento delle domande seguenti richiede pazienza a far disegni e ragionamenti, ma niente di più.
1) Indico con a^b il numero a elevato alla potenza b, e con a*b il prodotto tra a e b. Se x^2 + y^2 = 1 è l'equazione del cerchio di raggio 1 e centro nell'origine, che cosa descrivono le equazioni seguenti:
a) (x-3)^2 + y^2 = 1;
b) x^2 + (y-2)^2 = 1
c) x^2 + y^2 = 4
d) 4*x^2 + y^2 = 1
2) Ragioniamo in termini di angolo polare (latitudine) ed azimutale (longitudine).
Assumiamo che brescia si trovi ad angolo polare 45 gradi (lo zero è al polo nord) ed azimut esattamente zero (valori crescenti in direzione est). A che coppia di angoli posiziono (molto approssimativamente):
a) il polo nord
b) il polo sud
c) la nuova zelanda
d) dakar
e) una città agli antipodi di dakar
e) la corea
f) un posto alla latitudine di BS, dove sono le sei di sera quando a BS è midnight.
3) Devo andare in aereo da BS a Mosca. Quale delle due è più breve: (a) muoversi prima lungo un meridiano e poi lungo un parallelo, (b) il contrario. Stessa domanda, per il caso in cui debba andare da BS al Cairo.
4) per determinare la distanza di un oggetto C eseguo una triangolazione a partire da due punti A e B a 100 metri uno dall'altro. Immagino che il triangolo sia isoscele. Se l'angolo al vertice lontano è 30 gradi, a che distanza si trova C (a) da A, (b) dal punto intermedio tra A e B.
5) Triangolazione sul genere dell'esercizio (4), con A e B a 100 metri uno dall'altro e C a 1000 metri dal punto intermedio AB. Se il mio strumento ha una precisione di 1 grado, che errore commetto nella misura di quei 1000 metri?
6) Io mi trovo nell'origine. Un oggetto puntiforme A si muove. Come varia nel tempo la sua velocità angolare vista da me? disegna un grafico qualitativo nei seguennti casi:
a) A si muove lungo una retta che passa per l'origine, con velocità costante.
b) Come in (a), ma stavolta la retta non passa per l'origine.
c) A si muove con velocità costante lungo un cerchio che ha centro l'origine.
d) Come in (c), ma adesso l'origine si trova in un punto esterno al cerchio, lontano da esso.
e) Come in (c), ma ora l'origine si trova all'interno del cerchio, ma non esattamente nel centro.
7) Due mongolfiere A e B si trovano a 100 metri una dall'altra alla stessa quota, ad una grande altezza. Mi trovo in A e vedo un oggetto C lasciato cadere da B. C è fermo al tempo zero quando inizia la caduta.
a) Disegna l'andamento (qualitativo) della velocità di C e della sua velocità angolare vista da me.
b) Più difficile: identifica con precisione l'istante in cui la velocità angolare è massima.
8) Mongolfiere come sopra, ma stavolta C viene lanciato verso l'alto, quasi verticalmente, con velocità iniziale 10 m/s. Stesse domande.
9) Stavolta l'oggetto C viene lanciato da A (dove mi trovo io) con angolo iniziale 30 gradi e velocità 10 m/s. Stesse domande.
10) Un piccolo oggetto pesante A si muove lungo una traiettoria circolare per il fatto di essere legato ad una corda, che ha l'altro estremo fissato ad un punto. La corda si rompe. Quale è la traiettoria di A, mettendo assieme i tratti prima e dopo la rottura? Tra la velocità di A un attimo prima ed un attimo dopo la rottura, che angolo c'è?
1) Indico con a^b il numero a elevato alla potenza b, e con a*b il prodotto tra a e b. Se x^2 + y^2 = 1 è l'equazione del cerchio di raggio 1 e centro nell'origine, che cosa descrivono le equazioni seguenti:
a) (x-3)^2 + y^2 = 1;
b) x^2 + (y-2)^2 = 1
c) x^2 + y^2 = 4
d) 4*x^2 + y^2 = 1
2) Ragioniamo in termini di angolo polare (latitudine) ed azimutale (longitudine).
Assumiamo che brescia si trovi ad angolo polare 45 gradi (lo zero è al polo nord) ed azimut esattamente zero (valori crescenti in direzione est). A che coppia di angoli posiziono (molto approssimativamente):
a) il polo nord
b) il polo sud
c) la nuova zelanda
d) dakar
e) una città agli antipodi di dakar
e) la corea
f) un posto alla latitudine di BS, dove sono le sei di sera quando a BS è midnight.
3) Devo andare in aereo da BS a Mosca. Quale delle due è più breve: (a) muoversi prima lungo un meridiano e poi lungo un parallelo, (b) il contrario. Stessa domanda, per il caso in cui debba andare da BS al Cairo.
4) per determinare la distanza di un oggetto C eseguo una triangolazione a partire da due punti A e B a 100 metri uno dall'altro. Immagino che il triangolo sia isoscele. Se l'angolo al vertice lontano è 30 gradi, a che distanza si trova C (a) da A, (b) dal punto intermedio tra A e B.
5) Triangolazione sul genere dell'esercizio (4), con A e B a 100 metri uno dall'altro e C a 1000 metri dal punto intermedio AB. Se il mio strumento ha una precisione di 1 grado, che errore commetto nella misura di quei 1000 metri?
6) Io mi trovo nell'origine. Un oggetto puntiforme A si muove. Come varia nel tempo la sua velocità angolare vista da me? disegna un grafico qualitativo nei seguennti casi:
a) A si muove lungo una retta che passa per l'origine, con velocità costante.
b) Come in (a), ma stavolta la retta non passa per l'origine.
c) A si muove con velocità costante lungo un cerchio che ha centro l'origine.
d) Come in (c), ma adesso l'origine si trova in un punto esterno al cerchio, lontano da esso.
e) Come in (c), ma ora l'origine si trova all'interno del cerchio, ma non esattamente nel centro.
7) Due mongolfiere A e B si trovano a 100 metri una dall'altra alla stessa quota, ad una grande altezza. Mi trovo in A e vedo un oggetto C lasciato cadere da B. C è fermo al tempo zero quando inizia la caduta.
a) Disegna l'andamento (qualitativo) della velocità di C e della sua velocità angolare vista da me.
b) Più difficile: identifica con precisione l'istante in cui la velocità angolare è massima.
8) Mongolfiere come sopra, ma stavolta C viene lanciato verso l'alto, quasi verticalmente, con velocità iniziale 10 m/s. Stesse domande.
9) Stavolta l'oggetto C viene lanciato da A (dove mi trovo io) con angolo iniziale 30 gradi e velocità 10 m/s. Stesse domande.
10) Un piccolo oggetto pesante A si muove lungo una traiettoria circolare per il fatto di essere legato ad una corda, che ha l'altro estremo fissato ad un punto. La corda si rompe. Quale è la traiettoria di A, mettendo assieme i tratti prima e dopo la rottura? Tra la velocità di A un attimo prima ed un attimo dopo la rottura, che angolo c'è?
venerdì 26 febbraio 2010
esercizi 1, vettori e linee
1) SENZA FARE DISEGNI, prova a riconoscere quali delle
seguenti sequenze di punti descrivono rette:
a) (0,0) (1,1) (2,4)
b) (0,0) (1,3) (2,6)
c) (1,0) (2,3) (3,6)
d) (0,1) (1,4) (2,7)
e) (0,0) (1,3) (15,45)
e) (0,0,0) (2,3,4) (10,15,20)
f) (1,0,0) (3,3,4) (11,15,20)
Quale è stato il criterio utilizzato volta per volta?
2) Supponendo che i punti dell'esercizio (1) siano
posizioni prese a 0.1 secondi una dall'altra, in quali casi
i moti rettilinei sono anche rettilinei uniformi (= velocità
costante)?
Per quei casi, scrivi il vettore velocità.
3) Quali delle seguenti sequenze di punti possono fare parte
di un cerchio?
a) (1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1)
b) (1,1) (0,2) (-1,1) (0,0)
c) (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2)
d) (1,0,1) (0,1,1) (-1,0,1) (0,-1,1)
4) tra quelle sequenze che nell'esercizio (3) possono fare
parte di un cerchio, che relazioni geometriche ci sono (per
esempio, uno può essere il cerchio precedente spostato di
un metro più a destra, eccetera)?
5) Un'elica in geometria è quella curva che descrive una
bobina, ossia un avvolgimento regolare di filo attorno ad
un cilindro, con passo costante tra le spire.
La seguente sequenza di punti può far parte
di un'elica?
(1, 0, 0.1) (0, 1, 0.2) (-1, 0, 0.3) (0, -1, 0.4)
(1, 0, 0.5) (0, 1, 0.6) (-1, 0, 0.7) (0, -1, 0.8)
Da che cosa lo capisco?
6) che angoli ci sono tra le seguenti coppie di vettori?
a) (1,0) (0,1)
b) (2,0) (0,1)
c) (1,1) (0,1)
d) (-1,1) (1,1)
e) (1,-1) (1,1)
f) (1,0) (1,2)
g) (0,1) (1,2)
7) Quali sono i coseni direttori del vettore (1,1,1)?
A quanti gradi corrispondono? che legame c'è tra questo
angolo e l'angolo di 45 gradi?
seguenti sequenze di punti descrivono rette:
a) (0,0) (1,1) (2,4)
b) (0,0) (1,3) (2,6)
c) (1,0) (2,3) (3,6)
d) (0,1) (1,4) (2,7)
e) (0,0) (1,3) (15,45)
e) (0,0,0) (2,3,4) (10,15,20)
f) (1,0,0) (3,3,4) (11,15,20)
Quale è stato il criterio utilizzato volta per volta?
2) Supponendo che i punti dell'esercizio (1) siano
posizioni prese a 0.1 secondi una dall'altra, in quali casi
i moti rettilinei sono anche rettilinei uniformi (= velocità
costante)?
Per quei casi, scrivi il vettore velocità.
3) Quali delle seguenti sequenze di punti possono fare parte
di un cerchio?
a) (1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1)
b) (1,1) (0,2) (-1,1) (0,0)
c) (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2)
d) (1,0,1) (0,1,1) (-1,0,1) (0,-1,1)
4) tra quelle sequenze che nell'esercizio (3) possono fare
parte di un cerchio, che relazioni geometriche ci sono (per
esempio, uno può essere il cerchio precedente spostato di
un metro più a destra, eccetera)?
5) Un'elica in geometria è quella curva che descrive una
bobina, ossia un avvolgimento regolare di filo attorno ad
un cilindro, con passo costante tra le spire.
La seguente sequenza di punti può far parte
di un'elica?
(1, 0, 0.1) (0, 1, 0.2) (-1, 0, 0.3) (0, -1, 0.4)
(1, 0, 0.5) (0, 1, 0.6) (-1, 0, 0.7) (0, -1, 0.8)
Da che cosa lo capisco?
6) che angoli ci sono tra le seguenti coppie di vettori?
a) (1,0) (0,1)
b) (2,0) (0,1)
c) (1,1) (0,1)
d) (-1,1) (1,1)
e) (1,-1) (1,1)
f) (1,0) (1,2)
g) (0,1) (1,2)
7) Quali sono i coseni direttori del vettore (1,1,1)?
A quanti gradi corrispondono? che legame c'è tra questo
angolo e l'angolo di 45 gradi?
Prime 4 lezioni
Il corso è iniziato giovedi 18 febbraio alle 13.30 in aula n5 e da allora si sono svolte altre 3 lezioni (una settimana), lunedi dalle 8.30 alle 10.30, martedi e giovedi dalle 13.30 alle 16.30. Svolti richiami di matematica e vettori (ho seguito le dispense iniziali del mio vecchio corso fisica a reperibili alla leonardo). Rispetto al passato, sto spendendo una notevole quantità di tempo in esercizi su quello che lo spassoso gergo ministeriale chiama "prerequisiti". La speranza è che con questo sforzo la gente si trovi avvantaggiata sia nel mio che in altri corsi.
Però ..... le 80 persone, presenti giovedi 18.2 alle 13.45, alle 15.45 del giovedi successivo erano già 40. Mica male come trend. Io farò il possibile per la formazione dei rimanenti ma, come si dice, gli assenti hanno sempre torto. Se a settembre si ritrovano un libretto candido e vuoto come il lago salato di Uyuni, affari loro.
Però ..... le 80 persone, presenti giovedi 18.2 alle 13.45, alle 15.45 del giovedi successivo erano già 40. Mica male come trend. Io farò il possibile per la formazione dei rimanenti ma, come si dice, gli assenti hanno sempre torto. Se a settembre si ritrovano un libretto candido e vuoto come il lago salato di Uyuni, affari loro.
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