1) Quanto vale il lavoro compiuto girando intorno ad un quadrato di lato 2 dai campi di forze seguenti?
(a) (0,10)
(b) (x,0)
(c) (0,x)
(d) (0,2x)
I risultati non dipendono da DOVE metto il quadrato. Perchè?
E se i quadrati hanno lato 4, come cambiano i risultati?
2) Immaginando un esercizio come il precedente, per quali dei seguenti il lavoro dipende da dove metto il quadrato?
(a) (x,y)
(b) (y,x)
(c) (y^2,x^2)
(d) (xy,xy)
3) Nel precedente, per quali il lavoro è zero?
4) Un punto di massa 2 kg si muove nel campo di forze associato all'energia potenziale: U(x) = 2*sin(x).
(a) Partendo da 0, che velocità gli serve per non tornare mai indietro?
(b) dove sono i punti di equilibrio stabile e instabile più vicini all'origine?
(c) se parte fermo da x=0, dove si ferma?
5) (più difficile) U(x,y) = x^2 - y^2 (x quadro meno y quadro). Quale è la struttura del campo di forze?
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1)a)L=0;b)L=0;c)L=0;d)L=4x
RispondiElimina2)in nessuno dei casi L dipende dalla posizione del quadrato
3)L è zero in tutti i casi dell' es 2)
5)la struttura del campo si forze è F(r)=(-2x,2y)
6) ???
RispondiEliminaCominciamo a chiarire bene l'(1). Poi verrà più facile discutere il resto. Che differenza qualitativa ci può essere tra (c) e (d)? e perchè i risultati non dipendono dalla posizione dei quadrati?
RispondiEliminaper calcolare il lavoro tot devo sommare i lavori su tutti i lati del quadrato. in c)L=(0,x).in tutti i casi ho posto come estremi generici x e x+2 e y e y+2 di modo che il calcolo valga per qualsiasi posizione del quadrato. per quanto riguarda il caso d) mi sono accorta ora je ho sbagliatoa scrivere.infatti anke in quel caso Ltot=0. i risultati nn dipendono dalla posizione dei quadrati perchè per qualunque x e y se pongo come estremi x e x+2 e y e y+2 in ogni caso sommando i quattro lavori sui quattro lati essi si annullano a vicenda quindi ciò nn dipende da dove posiziono i quadrati. in alcuni casi sommo i lavori solo su 2 lati infatti gli altri 2 comportano uno spostamento perpendicolare alla forza in altri casi devo il lavoro c'è su tt e 4 i lati quindi li sommo tutti e 4 ma gli spostamenti sono uguali a 2 a2 ma con segno opposto quindi si annullano
RispondiEliminaforse l'unico caso in cui può cambiare il L tot in c) a d) è quello in cui uno dei lati coincida con l'asse delle y infatti se L=(0,x) o L=(0,2x) per x=0 L=0 e quindi il L tot non sarà 0 ma sarà= al lavoro compiuto sul lato parallelo all'asse y
RispondiEliminaC'è un po' di casino: che vuol dire L=(0,x)? Le forze hanno due componenti, il lavoro è un numero unico. Cominciamo a stabilire quanto è il lavoro su un singolo lato.
RispondiEliminaSe (esempio) nel caso F = (0,x) vado da (5,0) a (5,2), su tutto lo spostamento ho x=5 fisso, quindi è come se la forza fosse (0,5). Il lavoro in quello spostamento sarebbe 2*5 = 10. Se invece andassi da (10,0) a (10,3) la forza sarebbe (0,10) costante, ed il lavoro sarebbe 3*10 = 30.
infatti volevo scrivere F=(0,x)non L ho sbagliato a scrivere. allora devo fare le prove cn varie posizioni diverse del quadrato e vedere cosa esce?
RispondiEliminac)suppongo di percorrere il quadrato in senso antiorario. Ltot= 4J
RispondiEliminad)in senso antiorario Ltot=8
es2) percorro in senso antiorario... a)F=(x,y) L=0 sempre ; b)F=(y,x)L=0 sempre ; c) F=(y^2,x^2) L=8(x-y-2) quindiL dipende dalla posizione del quadrato ; d)F=(xy,xy) L=4(y-x) quindi L dipende dalla posizione del quadrato
RispondiEliminami sembrano corretti. Immagino (dall'ultimo) che il criterio sia usare la differenza tra le derivate parziali incrociate. Unica cosa, non mi torna il "-2" in x-y-2.
RispondiEliminaho usato gli integrali. ho rifatto il calcolo ma mi esce ancora 8(x-y-2)...?
RispondiEliminanon ho ancora capito come si fa il 4)
RispondiEliminaUna cosa è calcolare il lavoro, l'altra dimostrare che non dipende da dove sta il quadrato o che non è zero. Alle ultime due si può arrivare mediante le derivate parziali incrociate. Per il calcolo preciso del lavoro prima o poi però un integrale lo devo eseguire. Se lo eseguo su un quadrato preciso, il risultato è un numero, senza x o y. Se lo eseguo su un quadrato che se ne va in giro, il risultato dipenderà da x ed y (diciamo ad es. le coordinate del baricentro), ma allora non ci deve essere il -2 che rimane fisso. Quello che non torna è la coesistenza di un fattore variabile x-y con uno fisso -2.
RispondiEliminaPer il 4, occorre disegnare la funzione U(x), guardare da dove si parte, ed applicare le considerazioni svolte nell'ultima lezione, e basate sulla legge U+K = costante.