1) Che tipo di punti di equilibrio ha, e dove, U(x) =
(a) cos(x)
(b) sin(x) - x/2
(c) sin(x) - 2x
2) Idem in due dimensioni: U(x,y) =
(a) x^2 + y^2
(b) - (x^2 + y^2)
(c) x^2 - y^2
3) U(x) = x(x-1), punto di massa 2.
(a) Dove sta il punto di equilibrio?
(a) Se parto da fermo in x=0, dove arrivo?
(b) Quando passo per il punto di equilibrio, che energia cinetica ho?
(c) Stesse due domande, partendo da x = - 2.
(d) Esiste una velocità di fuga?
(e) Omega piccole oscillazioni.
(f) Approssimativamente, nei casi (a) e (c) quanto tempo ci metto a transitare dal punto di partenza a quello di equilibrio?
4) U(x) = x^3 - x.
Un punto parte da fermo in x. Per quali valori di x il punto oscilla? E se parte dagli altri x, che succede?
Se avessi solo x^3 oppure solo -x, come cambierebbe la risposta?
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es1 a)punto di equilibrio x=0 b) punto di equilibrio x= pigreco\6 c)non ha punti di equilibrio
RispondiEliminaes2 a) punto di equilibrio x=0,y=0 b) punto di equilibrio x=0,y=0 c)p di eq. x=0,y=0
es3 a)punti di equilibrio in x=0 e x=1 a)resto in x=0 perchè è il punto di equilibrio b)quando passo per il punto di equilibrio in questo caso ho Ek=0 c)se parto da x=-2 arrivo a x=2 e quando arrivo al punto di equilibrio avrò Ek=6J d)non esiste la velocità di fuga perchè piu misposto dal punto di equilibrio piu la velocità di fuga aumenta. la velocità di fuga tende quindi a + infinito e)w=radice di (g\l) ...??? f) ???
es4 U(x)=x^3-x se parto da punti x diverso da +\- (1\radice di3) il punto oscilla se parte invece da x= +\-(1\radice di 3) resta ferma in quanto mi trovo nei punti di equilibrio.
nel caso in cui ho solo x^3 il punto di equilibrio diventa x=0 quindi se parto da lì il punto resta fermo se no oscilla.
se ho solo -x non esiste un punto di equilibrio ma mi trovo su una retta con pendenza costante
x deb: (1) ci sono più punti di equilibrio, ed occorre precisarne la natura (stabile o meno). Inoltre cos(x) = 1/2 per x = pi/3. (2) di che natura?
RispondiElimina(3) x=0,1 sono gli zeri di U, non i suoi min/max. Questo condiziona un po' tutte le risposte. Inotre: che vuol dire che più mi sposto dall'equilibrio più la velocità di fuga aumenta?
(4)le ragioni per cui oscilla o no sono legate al fatto o meno che il punti sia confinato, e lo è per intervalli di x finiti (quali?). Poi:Ok per il caso "puro x", non per il caso "puro x^3".
es 1
RispondiEliminaa) x= pgreco+2k pgreco punti di eq stabili
x= 2pgreco + 2k pgreco punti di eq instabili
b) x= pgreco\3 punto di eq instabile
c) non c'è nessun punto di equilibrio
es 1
RispondiEliminaa) x=pgreco +2k pgreco eq stabile ; x=2pgreco +2k pgreco eq instabile
b) x=pgreco\3 eq instabile
c)non ci sono punti di equilibrio
es 2
a) (0,0) eq stabile; b) (0,0) eq instabile ; c) (0,0) eq ???
... per sbaglio ho pubblicato l'es 1 due volte...
RispondiEliminaes 3
RispondiEliminaa)x= 1\2 punto di eq stabile
a)se parto da fermo in x=0 arrivo in x=1
b)quando passo per il punto di equilibrio ho Ec=0
c)se parto da fermo da x=-2 arrivo in x=3 e nel punto di equilibrio abrò Ec=6J
d)vel di fuga= radice di(x^2-x)
e) w per piccole oscillazioni = radice di(10\h) ???
f)???
es 4 ???
aspetto qualke spiegazione o correzione
RispondiEliminaEs.1: ok gli stabili del coseno. Ok anche gli instabili, anche se "2 pigreco + 2k pigreco" si poteva semplicemente scrivere "2k pigreco". (b) corretto, ma incompleto (ci sono infiniti punti stabili ed instabili).
RispondiElimina(c) ok.
Es 2: ok (a) e (b). (c) è un punto di sella: domande: da che lo vedo, e che vuol dire per l'equilibrio? è stabile o no?
Es.3: ok a1 ed a2, sbagliata b (se parto da 0 e mi fermo in 1, non sarò fermo in 1/2), ok c, sbagliato d (quanta differenza di energia potenziale c'è tra il punto di partenza e quello dove voglio arrivare?), sbagliato e: omega = radice(2/m) ossia 1 (da dove viene il "2"?). Infine f: devi sfruttare omega appena calcolato.
es 3 a) ma se io parto da x =0 arrivo fino a x=1 in cui ho Ec nulla e quindi il mio punto comincia a compiere oscillazioni sempre piu piccole fino a fermarsi lì in mezzo nel punto di equilibrio x= 1\2
RispondiEliminad) ?
f) so che T= 2pgreco\w ma se w=1 è una costante allora T=2pgreco sec per ogni diverso punto di partenza
es 4 ??