Settimana regolare, 40-50 presenze. Argomenti, tutti dalla dispensa dinamica 2: Conclusione momenti angolari (esclusa finora solo la parte sul moto planetario). In particolare: energia di rotazione, decomposizione rotazione + traslazione (teorema per la composizione di momenti angolari in moto di traslazione + rotazione, teoremi di Koenig e Huygens-Steiner), giroscopi (=trottola), oscillazioni di un pendolo fatto da una sbarra rigida vincolata ad una estremità.
Esercizio sulle piccole oscillazioni di un sistema di due masse connesse da una molla (esercizio su quantità di moto ed energia, "avanzato" dalle lezioni precedenti).
Extra dispense: esercizi vari sulle leggi di conservazione (pendolo balistico, pendolo balistico composto da una sbarra rigida, urto tra un proiettile ed un corpo rigido appoggiato su un piano, vincolato e non).
domenica 13 maggio 2012
sabato 5 maggio 2012
esercizi, nona serie
1) Ho una leva di primo genere sull'asse x, fulcro nell'origine, che può ruotare sul piano xy.
In (10,0) applico la forza (10,10).
Nel punto (x,0) con x negativo, per bloccare la rotazione applico una forza (4,a). Quanto deve valere a? (è una funzione di x).
2) Un punto di massa 2 kg cade dal punto (10,10,0) fino al punto (10,0,0). Al punto di arrivo le componenti del suo momento angolare sono (prendere g = 10 m/s^2):
3) Un disco (I = 1/2 M R^2) è appoggiato orizzontale sul piano xy, obbligato a ruotare attorno all'asse z, che passa per il suo baricentro. M = 100 kg, R = 1 m. Un proiettile con massa 0.1 kg viaggia sul piano xy parallelo all'asse x, a 0.5 m di distanza da questo, con velocità 100 m/s. Si conficca nel disco. Assumiamo che il momento angolare sia conservato nell'urto. Quale è la velocità angolare finale del disco? (nota: un piccolo spessore del disco ed una piccola distanza tra piano xy e proiettile garantiscono che il proiettile si conficchi nel disco, ma per il resto sono parametri trascurabili).
4) Nel problema precedente, uno ha probabilmente trascurato il cambiamento del momento di inerzia del disco dovuto al proiettile che si è aggiunto. Supponiamo di andare a calcolarlo con precisione. Di quanto aumenta in percentuale il momento di inerzia del disco nei due casi (a) il proiettile si conficca praticamente al bordo disco, (b) il proiettile affonda fino all'asse y.
5) Cambiamo un punto nel problema 3: il disco ora è appoggiato liberamente, ossia non c'è un asse che lo obblighi a ruotare vincolato all'origine. Trascuro gli attriti. L'impatto col proiettile produce una velocità angolare attorno al baricentro (assumo conservazione del momento angolare e calcolo omega, trascurando il supplemento di momento di inerzia), ed una velocità di traslazione del baricentro stesso (assumo conservazione della quantità di moto, trascuro il supplemento di massa, e calcolo la velocità del baricentro, componenti x ed y).
6) Discussione: è lecito assumere che siano conservati quantità di moto e/o momento angolare nei problemi 3 e 4? e l'energia?
Nota: l'1 e il 2 sono giusto per scaldarsi. Gli esercizi 3,5,6 invece rappresentano un'ottima sintesi di buona parte del materiale dicussso finora.
In (10,0) applico la forza (10,10).
Nel punto (x,0) con x negativo, per bloccare la rotazione applico una forza (4,a). Quanto deve valere a? (è una funzione di x).
2) Un punto di massa 2 kg cade dal punto (10,10,0) fino al punto (10,0,0). Al punto di arrivo le componenti del suo momento angolare sono (prendere g = 10 m/s^2):
3) Un disco (I = 1/2 M R^2) è appoggiato orizzontale sul piano xy, obbligato a ruotare attorno all'asse z, che passa per il suo baricentro. M = 100 kg, R = 1 m. Un proiettile con massa 0.1 kg viaggia sul piano xy parallelo all'asse x, a 0.5 m di distanza da questo, con velocità 100 m/s. Si conficca nel disco. Assumiamo che il momento angolare sia conservato nell'urto. Quale è la velocità angolare finale del disco? (nota: un piccolo spessore del disco ed una piccola distanza tra piano xy e proiettile garantiscono che il proiettile si conficchi nel disco, ma per il resto sono parametri trascurabili).
4) Nel problema precedente, uno ha probabilmente trascurato il cambiamento del momento di inerzia del disco dovuto al proiettile che si è aggiunto. Supponiamo di andare a calcolarlo con precisione. Di quanto aumenta in percentuale il momento di inerzia del disco nei due casi (a) il proiettile si conficca praticamente al bordo disco, (b) il proiettile affonda fino all'asse y.
5) Cambiamo un punto nel problema 3: il disco ora è appoggiato liberamente, ossia non c'è un asse che lo obblighi a ruotare vincolato all'origine. Trascuro gli attriti. L'impatto col proiettile produce una velocità angolare attorno al baricentro (assumo conservazione del momento angolare e calcolo omega, trascurando il supplemento di momento di inerzia), ed una velocità di traslazione del baricentro stesso (assumo conservazione della quantità di moto, trascuro il supplemento di massa, e calcolo la velocità del baricentro, componenti x ed y).
6) Discussione: è lecito assumere che siano conservati quantità di moto e/o momento angolare nei problemi 3 e 4? e l'energia?
Nota: l'1 e il 2 sono giusto per scaldarsi. Gli esercizi 3,5,6 invece rappresentano un'ottima sintesi di buona parte del materiale dicussso finora.
venerdì 4 maggio 2012
settimana (si fa per dire) n.9
Due lezioni regolari mercoledi e giovedi, martedi niente perchè era il primo maggio.
Argomenti centrati attorno al momento angolare. Momento di forze e quantità di moto, coppie di forze, seconda equazione cardinale (enunciato e discussione, no dimostrazione), caso delle forze centrali (non trattato, almeno per ora, il moto planetario), momento assiale e momenti di inerzia (principi generali), problemi di carrucole.
Allo stato dell'arte, degli argomenti "pesanti" legati a quantità di moto e momento angolare, mancano per il momento: problema oscillazioni due masse + molla, trottola, moto planetario, teoremi sulla composizione rotazione + traslazione, energia di rotazione.Valuterò che cosa trattare e che cosa no nelle prossime settimane, nell'economia del tempo rimanente.
Argomenti centrati attorno al momento angolare. Momento di forze e quantità di moto, coppie di forze, seconda equazione cardinale (enunciato e discussione, no dimostrazione), caso delle forze centrali (non trattato, almeno per ora, il moto planetario), momento assiale e momenti di inerzia (principi generali), problemi di carrucole.
Allo stato dell'arte, degli argomenti "pesanti" legati a quantità di moto e momento angolare, mancano per il momento: problema oscillazioni due masse + molla, trottola, moto planetario, teoremi sulla composizione rotazione + traslazione, energia di rotazione.Valuterò che cosa trattare e che cosa no nelle prossime settimane, nell'economia del tempo rimanente.
lunedì 30 aprile 2012
esercizi, 8
1) Col telescopio vedo una stella di massa 10 effettuare spostamenti oscillatori di 2 gradi. Se assumo che attorno ad essa orbiti un pianeta poco visibile di massa 1, quanti gradi di oscillazione mi devo aspettare per il pianeta, se riuscissi ad identificarlo nel telescopio?
2) Uno lancia in avanti a due mani una pietra di massa 10 kg, in orizzontale, ed essa cade alla distanza 3 m (l'altezza di lancio è 1.8 m). Il gesto del lancio prende 0.5 secondi. Il lanciatore non rincula perchè ha la schiena appoggiata ad un muro.
a) Con che velocità è stata lanciata la pietra?
b) Che forza esercita il muro (approx)?
c) Durante il lancio, che forza totale (approx) stanno esercitando le braccia del lanciatore?
3) (esercizio non banale) Supponiamo che il lanciatore dell'esercizio (2) pesi 80 kg, e NON abbia la schiena appoggiata al muro. Assumiamo (che non è vero, ma facciamo finta) che il rinculo sia libero, come se i piedi non esercitassero presa sul terreno, ed assumiamo (che è ragionevole) che lo sforzo orizzontale massimo che lui riesce ad esercitare sia lo stesso che nell'esercizio (2).
a) Quale è la massa appparente che il lanciatore percepisce nella pietra? (intesa come inerzia in orizzontale, ovviamente il peso gravitazionale è lo stesso).
b) Quale è la velocità di lancio?
4) Esercizio classico ma non banale: Un razzo di massa 1000 kg espelle combustibile in misura 1 kg/s con velocità 200 m/s. Si muove su un piano orizzontale. In un momento in cui è appena partito ed è ancora lento, quale è la sua accelerazione?
5) Un proiettile di massa 10 g arriva a 200 m/s e si pianta in un blocco di legno molto pesante, penetrando per una profondità
di 10 cm.
a) Usando lavoro/energia, stimare la forza media frenante esercitata dal legno.
b) Eseguire la stessa stima senza usare l'energia. Sono possibili due strade, una molto breve ed approssimativa (da conto a mente, più o meno), l'altra più precisa.
6) In un calcio (forte) ad un pallone fermo da parte di un calciatore fermo, considerando il sistema pallone + calciatore, non si conserva la quantità di moto, mentre in parte si conserva l'energia.
a) perchè non si conserva la quantità di moto?
b) discutere la conservazione dell'energia.
2) Uno lancia in avanti a due mani una pietra di massa 10 kg, in orizzontale, ed essa cade alla distanza 3 m (l'altezza di lancio è 1.8 m). Il gesto del lancio prende 0.5 secondi. Il lanciatore non rincula perchè ha la schiena appoggiata ad un muro.
a) Con che velocità è stata lanciata la pietra?
b) Che forza esercita il muro (approx)?
c) Durante il lancio, che forza totale (approx) stanno esercitando le braccia del lanciatore?
3) (esercizio non banale) Supponiamo che il lanciatore dell'esercizio (2) pesi 80 kg, e NON abbia la schiena appoggiata al muro. Assumiamo (che non è vero, ma facciamo finta) che il rinculo sia libero, come se i piedi non esercitassero presa sul terreno, ed assumiamo (che è ragionevole) che lo sforzo orizzontale massimo che lui riesce ad esercitare sia lo stesso che nell'esercizio (2).
a) Quale è la massa appparente che il lanciatore percepisce nella pietra? (intesa come inerzia in orizzontale, ovviamente il peso gravitazionale è lo stesso).
b) Quale è la velocità di lancio?
4) Esercizio classico ma non banale: Un razzo di massa 1000 kg espelle combustibile in misura 1 kg/s con velocità 200 m/s. Si muove su un piano orizzontale. In un momento in cui è appena partito ed è ancora lento, quale è la sua accelerazione?
5) Un proiettile di massa 10 g arriva a 200 m/s e si pianta in un blocco di legno molto pesante, penetrando per una profondità
di 10 cm.
a) Usando lavoro/energia, stimare la forza media frenante esercitata dal legno.
b) Eseguire la stessa stima senza usare l'energia. Sono possibili due strade, una molto breve ed approssimativa (da conto a mente, più o meno), l'altra più precisa.
6) In un calcio (forte) ad un pallone fermo da parte di un calciatore fermo, considerando il sistema pallone + calciatore, non si conserva la quantità di moto, mentre in parte si conserva l'energia.
a) perchè non si conserva la quantità di moto?
b) discutere la conservazione dell'energia.
sabato 28 aprile 2012
8a settimana di corso
Due lezioni, martedi e giovedi (saltato mercoledi 25 aprile).
Argomento centrale i sistemi di più punti:
quantità di moto, equazione cardinale n.1, legge di azione/reazione & conservazione della quantità di moto, centro di massa. Un bel po' di esempi, inclusi urti con o senza conservazione energia, problemi con esplosione o con lancio/rinculo. Tutta roba dalla dispensa dinamica 2.
Argomento centrale i sistemi di più punti:
quantità di moto, equazione cardinale n.1, legge di azione/reazione & conservazione della quantità di moto, centro di massa. Un bel po' di esempi, inclusi urti con o senza conservazione energia, problemi con esplosione o con lancio/rinculo. Tutta roba dalla dispensa dinamica 2.
sabato 21 aprile 2012
Esercizi, 7a
1) ho x(t) = 10 exp(-t/5).
a) L'approssimazione lineare a piccoli tempi è una retta, con che equazione?
b) La funzione x(t) e la funzione g(t) = 2 x(t), sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
c) La funzione x(t) e g(t) = x(t) + 2, sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
d) Le funzioni x(t) = 10 exp(-t/5) e g(t) = 10 exp(-t/10) sono soluzioni etc?
e) Il fatto che x(t) e g(t) siano soluzioni della stessa equazione che significa, fisicamente?
Nota: come esempio, x' = -3x, e x' = -4x, NON sono "la stessa equazione". Sono della stessa famiglia, ma non identiche.
2) ho un corpo in caduta in un fluido, con massa 1 kg ed il coefficiente beta = 1.
a) Quanto vale la velocità di regime?
b) Partendo da fermo, quanto tempo occorre per arrivare a metà di questa velocità?
3) ho un oscillatore forzato e smorzato, che si muove in regime stazionario con x(t) = 2 cos(2t) + 2 sin(2t), e forzante esterna F(t) = 10 cos(2t).
a) Quanto vale il lavoro compiuto da questa in un periodo?
b) quanto vale il lavoro compiuto da questa nel primo quarto di periodo?
c) Se la omega propria dell'oscillatore è 3 rad/s, quanto vale la larghezza di risonanza?
d) Potrebbe la omega propria dell'oscillatore essere 1 rad/s? (ovviamente cancellando l'affermazione del punto c).
e) Se scrivo x(t) nella forma x(t) = C cos(2t + phi), quanto valgono C e phi?
a) L'approssimazione lineare a piccoli tempi è una retta, con che equazione?
b) La funzione x(t) e la funzione g(t) = 2 x(t), sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
c) La funzione x(t) e g(t) = x(t) + 2, sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
d) Le funzioni x(t) = 10 exp(-t/5) e g(t) = 10 exp(-t/10) sono soluzioni etc?
e) Il fatto che x(t) e g(t) siano soluzioni della stessa equazione che significa, fisicamente?
Nota: come esempio, x' = -3x, e x' = -4x, NON sono "la stessa equazione". Sono della stessa famiglia, ma non identiche.
2) ho un corpo in caduta in un fluido, con massa 1 kg ed il coefficiente beta = 1.
a) Quanto vale la velocità di regime?
b) Partendo da fermo, quanto tempo occorre per arrivare a metà di questa velocità?
3) ho un oscillatore forzato e smorzato, che si muove in regime stazionario con x(t) = 2 cos(2t) + 2 sin(2t), e forzante esterna F(t) = 10 cos(2t).
a) Quanto vale il lavoro compiuto da questa in un periodo?
b) quanto vale il lavoro compiuto da questa nel primo quarto di periodo?
c) Se la omega propria dell'oscillatore è 3 rad/s, quanto vale la larghezza di risonanza?
d) Potrebbe la omega propria dell'oscillatore essere 1 rad/s? (ovviamente cancellando l'affermazione del punto c).
e) Se scrivo x(t) nella forma x(t) = C cos(2t + phi), quanto valgono C e phi?
settima settimana di corso
Settimana regolare, a parte i presenti ormai fluttuanti attorno alle 30 unità.
Argomenti: la dispensa dinamica 4: forse dissipative dipendenti dalla velocità, punto in moto inerziale in un fluido rarefatto, caduta in fluido rarefatto, oscillatore forzato e smorzato.
Argomenti: la dispensa dinamica 4: forse dissipative dipendenti dalla velocità, punto in moto inerziale in un fluido rarefatto, caduta in fluido rarefatto, oscillatore forzato e smorzato.
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