Due lezioni, martedi e giovedi (saltato mercoledi 25 aprile).
Argomento centrale i sistemi di più punti:
quantità di moto, equazione cardinale n.1, legge di azione/reazione & conservazione della quantità di moto, centro di massa. Un bel po' di esempi, inclusi urti con o senza conservazione energia, problemi con esplosione o con lancio/rinculo. Tutta roba dalla dispensa dinamica 2.
sabato 28 aprile 2012
sabato 21 aprile 2012
Esercizi, 7a
1) ho x(t) = 10 exp(-t/5).
a) L'approssimazione lineare a piccoli tempi è una retta, con che equazione?
b) La funzione x(t) e la funzione g(t) = 2 x(t), sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
c) La funzione x(t) e g(t) = x(t) + 2, sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
d) Le funzioni x(t) = 10 exp(-t/5) e g(t) = 10 exp(-t/10) sono soluzioni etc?
e) Il fatto che x(t) e g(t) siano soluzioni della stessa equazione che significa, fisicamente?
Nota: come esempio, x' = -3x, e x' = -4x, NON sono "la stessa equazione". Sono della stessa famiglia, ma non identiche.
2) ho un corpo in caduta in un fluido, con massa 1 kg ed il coefficiente beta = 1.
a) Quanto vale la velocità di regime?
b) Partendo da fermo, quanto tempo occorre per arrivare a metà di questa velocità?
3) ho un oscillatore forzato e smorzato, che si muove in regime stazionario con x(t) = 2 cos(2t) + 2 sin(2t), e forzante esterna F(t) = 10 cos(2t).
a) Quanto vale il lavoro compiuto da questa in un periodo?
b) quanto vale il lavoro compiuto da questa nel primo quarto di periodo?
c) Se la omega propria dell'oscillatore è 3 rad/s, quanto vale la larghezza di risonanza?
d) Potrebbe la omega propria dell'oscillatore essere 1 rad/s? (ovviamente cancellando l'affermazione del punto c).
e) Se scrivo x(t) nella forma x(t) = C cos(2t + phi), quanto valgono C e phi?
a) L'approssimazione lineare a piccoli tempi è una retta, con che equazione?
b) La funzione x(t) e la funzione g(t) = 2 x(t), sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
c) La funzione x(t) e g(t) = x(t) + 2, sono soluzioni della stessa identica equazione o no?
d) Le funzioni x(t) = 10 exp(-t/5) e g(t) = 10 exp(-t/10) sono soluzioni etc?
e) Il fatto che x(t) e g(t) siano soluzioni della stessa equazione che significa, fisicamente?
Nota: come esempio, x' = -3x, e x' = -4x, NON sono "la stessa equazione". Sono della stessa famiglia, ma non identiche.
2) ho un corpo in caduta in un fluido, con massa 1 kg ed il coefficiente beta = 1.
a) Quanto vale la velocità di regime?
b) Partendo da fermo, quanto tempo occorre per arrivare a metà di questa velocità?
3) ho un oscillatore forzato e smorzato, che si muove in regime stazionario con x(t) = 2 cos(2t) + 2 sin(2t), e forzante esterna F(t) = 10 cos(2t).
a) Quanto vale il lavoro compiuto da questa in un periodo?
b) quanto vale il lavoro compiuto da questa nel primo quarto di periodo?
c) Se la omega propria dell'oscillatore è 3 rad/s, quanto vale la larghezza di risonanza?
d) Potrebbe la omega propria dell'oscillatore essere 1 rad/s? (ovviamente cancellando l'affermazione del punto c).
e) Se scrivo x(t) nella forma x(t) = C cos(2t + phi), quanto valgono C e phi?
settima settimana di corso
Settimana regolare, a parte i presenti ormai fluttuanti attorno alle 30 unità.
Argomenti: la dispensa dinamica 4: forse dissipative dipendenti dalla velocità, punto in moto inerziale in un fluido rarefatto, caduta in fluido rarefatto, oscillatore forzato e smorzato.
Argomenti: la dispensa dinamica 4: forse dissipative dipendenti dalla velocità, punto in moto inerziale in un fluido rarefatto, caduta in fluido rarefatto, oscillatore forzato e smorzato.
venerdì 13 aprile 2012
esercizi, serie 6b
Ripasso post-pasquale sull'energia.
1) Il campo elettrico E = (10,0,0) sposta una carica di valore 1 C e massa 2 kg inizialmente ferma dall'origine al punto (10,0,0). Quanto vale la velocità finale? (nota: l'esercizio serve solo se si riesce a farlo a mente, senza scrivere niente).
2) Per una carica 1 C, forza e campo elettrico sono la stessa cosa. Ho il campo eletttrico E = (10,0,0), ed una carica 1 C. Che funzione U(x,y,z) è la corrispondente energia potenziale?
3) Ho il campo di forze F = (0, 10 + x). Quanto vale il lavoro sul quadrato di lato 10, centrato nell'origine, con lati paralleli agli assi? (calcolo sia diretto sia con le derivate)
4) Ho la funzione U(x) = 3 sin(x). Un punto parte fermo dall'origine. Dove si ferma? Quanto tempo approx impiega ad andare e ritornare al punto di partenza?
5) Un punto di carica 1 C si muove in un campo magnetico di valore 3 T, percorrendo un cerchio completo di raggio 2 m. Che lavoro ha compiuto la forza magnetica?
6) Ho un campo di forze conservative. Per andare dall'origine a (10,10) il lavoro è 100 J, per andare dall'origine a (12,14) il lavoro è 120 J. Approx quali sono le componenti x ed y della forza nel punto (11,12)?
1) Il campo elettrico E = (10,0,0) sposta una carica di valore 1 C e massa 2 kg inizialmente ferma dall'origine al punto (10,0,0). Quanto vale la velocità finale? (nota: l'esercizio serve solo se si riesce a farlo a mente, senza scrivere niente).
2) Per una carica 1 C, forza e campo elettrico sono la stessa cosa. Ho il campo eletttrico E = (10,0,0), ed una carica 1 C. Che funzione U(x,y,z) è la corrispondente energia potenziale?
3) Ho il campo di forze F = (0, 10 + x). Quanto vale il lavoro sul quadrato di lato 10, centrato nell'origine, con lati paralleli agli assi? (calcolo sia diretto sia con le derivate)
4) Ho la funzione U(x) = 3 sin(x). Un punto parte fermo dall'origine. Dove si ferma? Quanto tempo approx impiega ad andare e ritornare al punto di partenza?
5) Un punto di carica 1 C si muove in un campo magnetico di valore 3 T, percorrendo un cerchio completo di raggio 2 m. Che lavoro ha compiuto la forza magnetica?
6) Ho un campo di forze conservative. Per andare dall'origine a (10,10) il lavoro è 100 J, per andare dall'origine a (12,14) il lavoro è 120 J. Approx quali sono le componenti x ed y della forza nel punto (11,12)?
sabato 31 marzo 2012
esercizi, serie n.6a
Nota: l'es. 1 è molto basilare, quindi (i) se uno è un minimo esercitato, lo può saltare, (ii) se uno scopre che non sa farlo i casi sono due: o cambia marcia d'urgenza o rimanda all'anno prossimo. "Cambiare marcia" significa contattarmi, farsi dare altri 5000 esercizi di livello adeguato al caso, e farli tutti entro la ripresa del corso. Sono solo 300 esercizi al giorno, una quindicina all'ora presupponendo quattro ore di sonno, si può fare.
1) Calcola il lavoro per le seguenti coppie forza/spostamento (forza uniforme, spostamento rettilineo)
a) F = (10,0), S = (10,0);
b) F = (-10.0), S = (10,0);
c) F = (10,10), S = (10,0);
d) F = (0,10), S = (10,0);
e) F = (0,10), S = (0,10);
2) Lo spostamento è lungo l'asse x, da zero a x=10. Calcola il lavoro per le forze seguenti:
a) F = (x,0);
b) F = (x,x);
c) F = (1+y,0);
3) Lo spostamento è rettilineo da (0,10) a (10,10), ossia è parallelo all'asse x ma non è lungo l'asse x. Calcola il lavoro:
a) F = (y,0);
b) F = (xy,0);
c) F = (xy,xy);
4) Lo spostamento è rettilineo da (0,0) a (10,10). Calcola il lavoro.
a) F = (y,0);
b) F = (xy,0);
c) F = (xy,xy);
5) Quali delle 14 forze dei precedenti esercizi sono conservative e quali no?
6) Calcola, sia in modo diretto che con l'approx delle derivate incrociate, il lavoro lungo il quadrato
(-1,0)(1,0)(1,2)(-1,2)(-1,0) con le seguenti forze:
a) F = (0,x);
b) F = (0,x^2) (nota: x^2 vuol dire x al quadrato);
c) F = (0,x^3).
1) Calcola il lavoro per le seguenti coppie forza/spostamento (forza uniforme, spostamento rettilineo)
a) F = (10,0), S = (10,0);
b) F = (-10.0), S = (10,0);
c) F = (10,10), S = (10,0);
d) F = (0,10), S = (10,0);
e) F = (0,10), S = (0,10);
2) Lo spostamento è lungo l'asse x, da zero a x=10. Calcola il lavoro per le forze seguenti:
a) F = (x,0);
b) F = (x,x);
c) F = (1+y,0);
3) Lo spostamento è rettilineo da (0,10) a (10,10), ossia è parallelo all'asse x ma non è lungo l'asse x. Calcola il lavoro:
a) F = (y,0);
b) F = (xy,0);
c) F = (xy,xy);
4) Lo spostamento è rettilineo da (0,0) a (10,10). Calcola il lavoro.
a) F = (y,0);
b) F = (xy,0);
c) F = (xy,xy);
5) Quali delle 14 forze dei precedenti esercizi sono conservative e quali no?
6) Calcola, sia in modo diretto che con l'approx delle derivate incrociate, il lavoro lungo il quadrato
(-1,0)(1,0)(1,2)(-1,2)(-1,0) con le seguenti forze:
a) F = (0,x);
b) F = (0,x^2) (nota: x^2 vuol dire x al quadrato);
c) F = (0,x^3).
sesta settimana di corso
Settimana regolare. Presenti tra i 30 e i 40. Argomenti: teorema di Green-Stokes (quello del rettangolo) e conclusione dell'argomento "proprietà forze conservative". Poi le proprietà di un punto che si muove in una energia potenziale U(x), e le piccole oscillazioni nei pressi di un minimo (parabola approssimante e similitudine con una molla). In pratica sono andato avanti sulla dispensa "dinamica 1".
sabato 24 marzo 2012
esercizi, (mezza) quinta serie
1) Particella P di carica 0.001 C e massa 1 g. Si muove lungo cerchi in un campo magnetico di valore 2 T. La velocità è 2 m/s. Che lavoro compie il campo magnetico in un cerchio intero? E in un semicerchio?
2) Stessa particella P dell'es.1, parte da ferma nell'origine. Il campo elettrico E = (10,0,0) V/m la sposta fino al punto (10,0,0). Che lavoro compie il campo E? Se raddoppio l'intensità di E, che fa il lavoro?
3) Che funzione U(x,y,z) è l'energia potenziale per la particella P dell'es.1 nei campi elettrici
(a) E = (10,0,0);
(b) E = (0,10,0);
(c) E = (10,10,0).
4) Una particella di massa 2 kg si muove in un campo di forze conservative. Parte da ferma in un punto in cui l'energia potenziale è U = 10 J. Dopo un po' arriva in un punto con
U = -6 J. Quanto vale la sua velocità?
5) Una particella si muove in un campo di forze conservative con energia potenziale U = x(1-x). (nota: è una parabola). La particella parte ferma nel punto x = -1.
(a) dove si ferma? (b) in che punto ha energia cinetica massima e quanto vale questa?
2) Stessa particella P dell'es.1, parte da ferma nell'origine. Il campo elettrico E = (10,0,0) V/m la sposta fino al punto (10,0,0). Che lavoro compie il campo E? Se raddoppio l'intensità di E, che fa il lavoro?
3) Che funzione U(x,y,z) è l'energia potenziale per la particella P dell'es.1 nei campi elettrici
(a) E = (10,0,0);
(b) E = (0,10,0);
(c) E = (10,10,0).
4) Una particella di massa 2 kg si muove in un campo di forze conservative. Parte da ferma in un punto in cui l'energia potenziale è U = 10 J. Dopo un po' arriva in un punto con
U = -6 J. Quanto vale la sua velocità?
5) Una particella si muove in un campo di forze conservative con energia potenziale U = x(1-x). (nota: è una parabola). La particella parte ferma nel punto x = -1.
(a) dove si ferma? (b) in che punto ha energia cinetica massima e quanto vale questa?
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