tre esercizietti di riscaldamento e uno durissimo

1) Un razzo emette materia alla velocità 1000 m/s. Lui pesa inizialmente 10 tonnellate. Trascuro il calo di massa, (a) quanta massa/secondo deve emettere per restare esattamente fermo sospeso a mezz'aria? (b) e per avere accelerazione g? (ovviamente è in assetto verticale)

2) Sono seduto su un'altalena (raggio 10 m) e peso 100 kg. Sparo in avanti, un proiettile di 10 grammi a velocità 1000 m/s. Per reazione vado indietro.
(a) con che velocità iniziale?
(b) di quanti gradi mi sposto (approx)?
(c) quanto vale (modulo) il momento angolare iniziale?
(d) come è diretto?
(e) quanto vale la derivata del momento angolare durante la salita? (sottinteso: dell'unica componente nonzero)

3) Un sasso di massa 2 kg cade lungo l'asse z, dalla quota 10 m. Rispetto al punto (2,0,0), quanto vale il suo momento angolare (Lx,Ly,Lz) dopo (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s? (d) se parto dalla quota 20 m, come cambiano i risultati precedenti? (e) quale è l'equazione per le tre compomenti di dL/dt ?

4) (tostissimo) Partendo dalla conservazione del momento angolare, (a) dimostra che l'orbita di un pianeta è su un piano, (b) dimostra la legge della aree di keplero.

nuova settimana di corso (si fa per dire)

Lezioni lunedi e martedi (poco più di dieci presenti). Giovedi, due presenti, ho cancellato la lezione. Argomenti: prima equazione cardinale, utilizzo della quantità di moto per semplificare l'analisi di sistemi a più corpi. Esempi standard di problemi a due corpi (tutti reperibili sulla dispensa dinamica 2), e quello meno standard delle oscillazioni di un sistema di 2 masse connesse da una molla (dinamica 2 anche quello).

Esercizi: curve di energia potenziale

1) Che tipo di punti di equilibrio ha, e dove, U(x) =
(a) cos(x)
(b) sin(x) - x/2
(c) sin(x) - 2x

2) Idem in due dimensioni: U(x,y) =
(a) x^2 + y^2
(b) - (x^2 + y^2)
(c) x^2 - y^2

3) U(x) = x(x-1), punto di massa 2.
(a) Dove sta il punto di equilibrio?
(a) Se parto da fermo in x=0, dove arrivo?
(b) Quando passo per il punto di equilibrio, che energia cinetica ho?
(c) Stesse due domande, partendo da x = - 2.
(d) Esiste una velocità di fuga?
(e) Omega piccole oscillazioni.
(f) Approssimativamente, nei casi (a) e (c) quanto tempo ci metto a transitare dal punto di partenza a quello di equilibrio?

4) U(x) = x^3 - x.
Un punto parte da fermo in x. Per quali valori di x il punto oscilla? E se parte dagli altri x, che succede?
Se avessi solo x^3 oppure solo -x, come cambierebbe la risposta?

prima settimana post-pausa

Tre lezioni/esercitazioni regolari sulle applicazioni della conservazione energia, e sulle piccole oscillazioni. Presenti 38/19/12, pare che tra alcuni mesi ci sia un test di qualcosa e la gente giustamente dopo aver passato le notti a studiarci sopra la mattina non ha le energie per frequentare. Tanto, le rate universitarie le paga mamma (che mi domando che direbbe se sapesse che il figliolo metà delle ore non le passa in classe). Quindici anni fa gli studenti di ingegneria di Brescia erano i più seri di tutta italia. Di coccio, e con una tendenza a studiare a memoria che ho combattuto per anni, ma comunque persone serie. Adesso sembra di stare in un istituto da cinque anni in uno.

esercizi, lavoro ed energia 2

1) Quanto vale il lavoro compiuto girando intorno ad un quadrato di lato 2 dai campi di forze seguenti?
(a) (0,10)
(b) (x,0)
(c) (0,x)
(d) (0,2x)
I risultati non dipendono da DOVE metto il quadrato. Perchè?
E se i quadrati hanno lato 4, come cambiano i risultati?

2) Immaginando un esercizio come il precedente, per quali dei seguenti il lavoro dipende da dove metto il quadrato?
(a) (x,y)
(b) (y,x)
(c) (y^2,x^2)
(d) (xy,xy)

3) Nel precedente, per quali il lavoro è zero?

4) Un punto di massa 2 kg si muove nel campo di forze associato all'energia potenziale: U(x) = 2*sin(x).
(a) Partendo da 0, che velocità gli serve per non tornare mai indietro?
(b) dove sono i punti di equilibrio stabile e instabile più vicini all'origine?
(c) se parte fermo da x=0, dove si ferma?

5) (più difficile) U(x,y) = x^2 - y^2 (x quadro meno y quadro). Quale è la struttura del campo di forze?

sesta settimana

ultima settimana prima dell'interruzione. Otto ore complete, dedicate alle forze conservative (teoremi principali). Circa 30 presenti lunedi e martedi (come al solito con gente che va e viene), 21 fissi giovedi.

nuova settimana (perso il conto)

otto ore regolari, su lavoro, energia cinetica ed integrali di linea. Ogni tanto si cominciano a vedere meno di 30 presenti.