Esercizi: curve di energia potenziale

1) Che tipo di punti di equilibrio ha, e dove, U(x) =
(a) cos(x)
(b) sin(x) - x/2
(c) sin(x) - 2x

2) Idem in due dimensioni: U(x,y) =
(a) x^2 + y^2
(b) - (x^2 + y^2)
(c) x^2 - y^2

3) U(x) = x(x-1), punto di massa 2.
(a) Dove sta il punto di equilibrio?
(a) Se parto da fermo in x=0, dove arrivo?
(b) Quando passo per il punto di equilibrio, che energia cinetica ho?
(c) Stesse due domande, partendo da x = - 2.
(d) Esiste una velocità di fuga?
(e) Omega piccole oscillazioni.
(f) Approssimativamente, nei casi (a) e (c) quanto tempo ci metto a transitare dal punto di partenza a quello di equilibrio?

4) U(x) = x^3 - x.
Un punto parte da fermo in x. Per quali valori di x il punto oscilla? E se parte dagli altri x, che succede?
Se avessi solo x^3 oppure solo -x, come cambierebbe la risposta?

prima settimana post-pausa

Tre lezioni/esercitazioni regolari sulle applicazioni della conservazione energia, e sulle piccole oscillazioni. Presenti 38/19/12, pare che tra alcuni mesi ci sia un test di qualcosa e la gente giustamente dopo aver passato le notti a studiarci sopra la mattina non ha le energie per frequentare. Tanto, le rate universitarie le paga mamma (che mi domando che direbbe se sapesse che il figliolo metà delle ore non le passa in classe). Quindici anni fa gli studenti di ingegneria di Brescia erano i più seri di tutta italia. Di coccio, e con una tendenza a studiare a memoria che ho combattuto per anni, ma comunque persone serie. Adesso sembra di stare in un istituto da cinque anni in uno.

esercizi, lavoro ed energia 2

1) Quanto vale il lavoro compiuto girando intorno ad un quadrato di lato 2 dai campi di forze seguenti?
(a) (0,10)
(b) (x,0)
(c) (0,x)
(d) (0,2x)
I risultati non dipendono da DOVE metto il quadrato. Perchè?
E se i quadrati hanno lato 4, come cambiano i risultati?

2) Immaginando un esercizio come il precedente, per quali dei seguenti il lavoro dipende da dove metto il quadrato?
(a) (x,y)
(b) (y,x)
(c) (y^2,x^2)
(d) (xy,xy)

3) Nel precedente, per quali il lavoro è zero?

4) Un punto di massa 2 kg si muove nel campo di forze associato all'energia potenziale: U(x) = 2*sin(x).
(a) Partendo da 0, che velocità gli serve per non tornare mai indietro?
(b) dove sono i punti di equilibrio stabile e instabile più vicini all'origine?
(c) se parte fermo da x=0, dove si ferma?

5) (più difficile) U(x,y) = x^2 - y^2 (x quadro meno y quadro). Quale è la struttura del campo di forze?

sesta settimana

ultima settimana prima dell'interruzione. Otto ore complete, dedicate alle forze conservative (teoremi principali). Circa 30 presenti lunedi e martedi (come al solito con gente che va e viene), 21 fissi giovedi.

nuova settimana (perso il conto)

otto ore regolari, su lavoro, energia cinetica ed integrali di linea. Ogni tanto si cominciano a vedere meno di 30 presenti.

esercizi - lavoro/energia 1

Facili (o comunque dirette):

1) Una forza F agisce per 3 metri e accelera un punto da zero a V. Se invece agisce per 48 metri, che velocità trovo?

2) Con lavoro 10 vado da 0 a 3 m/s. Per abdare da 0 a 6 m/s quanto lavoro mi serve?

3) Una forza ha le componenti (10,10), ed un'altra (10,-10). Agiscono assieme su un punto di massa 1 kg, inizialmente fermo nell'origine e non sogggetto ad alcun vincolo. Quando ha percorso 10 m, che lavoro totale è stato compiuto su di lui?

4) Un oscillatore massa-molla ha F = -3x, massa 1 kg, e oscilla con ampiezza 10 m. Quanto lavoro viene compiuto da questa forza in: (i) 1/4 di periodo, (ii) mezzo periodo da -10 a + 10, (iii) mezzo periodo da 0 a 0, (iv) un periodo?

5) Un oggetto è in caduta libera (parte da fermo). La gravità in 1 secondo compie lavoro L su di lui. In due secondi che lavoro compie?

6) Nel problema di prima la gravità compie un certo lavoro A in 1 secondo, e un certo lavoro B in 1 metro. A, B, nessuno dei due, o tutti e due, dipendono o no (i) dalla quota con cui inizia la caduta, (ii) dalla velocità con cui inizia la caduta? (spiega)

Meno banali:

7) Una barca a vela col vento in poppa percorre 10 km, ed il vento risulta aver compiuto lavoro 100. Se la stesssa distanza viene compiuta col vento al traverso (stessa velocità del vento e stessa velatura), il lavoro compiuto dal vento in 10 km quanto è?

8) Un pendolo ha lunghezza 2 m e massa 1 kg. Per aprire l'angolo di 30 gradi, che lavoro si compie?

9) Sempre lo stesso pendolo. Lo lascio partire (da fermo) da un angolo piccolo x. Sia v la velocità con cui arriva alla verticale. Come dipende v da x?

quarta settimana

Lezioni martedi e giovedi (saltato lunedi causa lauree). Molto spazio dedicato a discutere le funzioni sinusoidali ed esponenziali, le equazioni differenziali da esse seguite ed alcuni problemi fisici dei quali sono soluzioni. Di solito 40 presenti con oscillazione tra i 35 e i 50.